Relación teórica entre matrices estocásticas regulares y vectores de probabilidad fijos en cadenas de Markov discretas

Resumen

Las cadenas de Markov, nombradas en honor al matemático ruso Andrei Andreyevich Markov, constituyen modelos matemáticos fundamentales en el análisis estocástico. Estas cadenas permiten modelar y predecir la evolución de sistemas dinámicos mediante el uso de vectores de probabilidad y matrices estocásticas, especialmente en contextos de tiempo discreto.

En este marco, las matrices estocásticas regulares juegan un papel esencial. Una matriz estocástica cuadrada de orden n se considera regular si existe una de sus potencias cuya totalidad de entradas es estrictamente positiva. Esta condición garantiza la conectividad completa del sistema modelado en el largo plazo y la convergencia hacia un comportamiento estable.

Un concepto estrechamente relacionado con estas matrices es el de vector de probabilidad fijo, definido como aquel vector t que satisface la ecuación matricial tA = t, donde A es una matriz estocástica de orden n × n. El vector t representa un estado estacionario del sistema, es decir, un vector de probabilidad que permanece invariante ante la aplicación iterativa de la matriz A. En el caso de matrices estocásticas regulares, dicho vector fijo es único y todas sus componentes son estrictamente positivas.